How You Really Use Mathematics To Define Paper Size A4纸的长宽比为什么是一个无理数？纸张大小背后的丰富历史和趣味数学！
你是否想过纸张大小是如何定义的？我们最常用的纸张尺寸一般是A4大小的。如果你从事或接触过技术类学科，会了解其他纸张尺寸，如A0、A1、A2等。ISO 216:2007定义了大多数国际上通用的纸张尺寸，而ISO 269和ISO 217等其他ISO标准涵盖了其余尺寸。
但你知道这些标准是从哪来的吗？
在这些标准和定义之前我们怎样形容纸张的大小？
是谁出于什么样的目的选择了这些尺寸？
这是一系列的问题很有趣。事实证明，纸张尺寸标准的发明背后包含丰富而神秘的数学历史。
数学本身微妙而深刻。在这篇文章中，我将从数学历史开始，探讨纸张尺寸标准背后的数学问题。最后，我解释了美丽的人性如何被巧妙地嵌入这项技术中。请你坐下来，放放松，好好享受这段愉快的旅程！
乔治·克里斯托夫·利希滕贝格（Georg Christoph Lichtenberg）是18世纪德国著名的物理学家和讽刺作家。他是哥廷根大学杰出的物理教授，也是最早在讲座中介绍仪器实验的科学家之一。
他还与当时其他伟大的德国知名人物保持着密切联系，如约翰·沃尔夫冈·冯·歌德（Johann Wolfgang von Goethe）和伊曼纽尔·康德（Immanuel Kant）。众所周知，传奇数学家卡尔·弗里德里希·高斯（Karl Friedrich Gauss）也曾参加过利希滕贝格的讲座。他还因发现树状放电图案而闻名，这种放电模式后来被称为利希滕贝格图（Lichtenberg figures）。
利希滕贝格画像
在他当时正解决的一系列科学问题中，利希滕贝格对纸张尺寸的标准化问题特别感兴趣。他想找到一个标准，可以实现对纸上内容的完美缩放。完美缩放在这里意味着：在一系列可能的标准化放大范围内，既不会浪费纸张也不会让纸上内容显得局促。
他将此作为一道练习题向他的一名英国代数学学生提问。该学生提出了一个特定比例可以满足利希滕贝格所想要的特性（稍后将详细介绍该比例）。当利希滕贝格开始尝试将这一比例实际应用于一张纸时，惊喜地发现，当时德国的报纸已经采用了这一比例。
在1786年写给约翰·贝克曼（Johann Beckmann）的一封信中，利希滕贝格表示他不确定这一比例是由于历史原因自然而然产生的，还是来自精确的数学计算。不管怎样，这个故事里迄今为止第一次出现了关于纸张尺寸标准背后数学知识的记录。
√2是数学中一个非常有趣的数字。将勾股定理应用于一个具有单位长度和单位高度的直角三角形时，它的斜边的长度正是√2。
因此，单位正方形的对角线为√2。√2是一个无理数，用十进制表示的话，√2为1.4142135623730950488016887…
利希滕贝格（和他的学生）发现，当一张纸被看作一个长方形，并且它的长边为√2短边长度时，就能能满足放大时既不会浪费纸张也不会让纸上内容显得拥挤的要求。
稍后，我们将看到这在数学上是如何实现的。但首先，从几何角度理解这个概念可能会有所帮助。
巴塞罗那科学博物馆内展示的A系列纸张尺寸来源
考虑一张矩形的A0纸。它的尺寸为841 mm × 1189 mm。如果将其沿较长的一边对折，则折叠后的两个部分各是一张A1纸。如果将两张A1纸沿其各自的长边折叠，将得到四张A2纸。每次重复该过程将分别产生8张A3、16张A4、32张A5、64张A6、128张A7和256张A8纸。
这就是为什么现代打印机可以快速将打印内容缩放到适应不同纸张的大小。例如，如果我们希望节省纸张，可以先将书的书页大小（电子版）缩小到A6纸大小，然后再在A4纸上打印。这样每一张A4纸将包含该书的4页内容（每一面），从而增加纸上的信息密度。
事实证明，这个比例背后的数学原理非常清晰明了。
图源作者
考虑一张纸，它的长边为“a”单位长度，短边为“b”单位长度。如果我们把这张纸沿长边折叠，我们会得到两张纸，每一张纸的长边是b单位，短边是a/2单位。
现在，将利希滕贝格的练习题复制给他的代数学学生，要求在一张大一点的纸和两张小一点的纸（折叠后）中保留长边和短边之间的比例。然后，这就变成了一个简单的数学问题，可以通过以下方式解决：
推导来自作者
当我们用数学方法解决这个问题时，能很清楚地看出，在纸的边长一定是正数的前提下，这个比例只能是√2。
继利希滕贝格之后，法国于1798年出版了一部对纸张征税的法律，该法律证明是现行ISO标准的直系源头。
博斯特曼（W. Porstmann）在1918年的一篇文章中指出，纸张尺寸标准也需要包含所涉及的表面积。他还认为，上述纸张用到的信封应该比纸张本身大10%。受他的影响，德国工业标准化委员会（Deutsches Institute für Normang-DIN）发布了DIN 476，共涉及到四种尺寸的纸张，但是每种纸的长宽比均为√2.
A0纸的定义是，当尺寸的精度精确到毫米时，A0纸的表面积为1平方米（841 mm x 1189 mm）。而A4被推荐为商业和行政活动的标准纸张尺寸；他们还建议将A6纸用于明信片制造。对于B系列纸张，B0纸的宽度为1米。C系列纸是基于信封格式开发的。
时至今日，除了北美、秘鲁、哥伦比亚等少数国家外，几乎所有国家都采用了这些标准。
比率√2具有一些违反直觉的特性。
到目前为止，我们已经看到，在一张A4纸中可以放入两张A5纸。但假设我们对横向打印而不是纵向打印感兴趣。为了在一张A4纸上横向放置两页内容，我们需要将原始A4（纵向）内容缩小多少？直觉告诉我们是50%。
然而，由于纵横比是√2，所以我们只需将内容缩小70%，而不是50%。这是因为(1/√2) =0.7071…，约等于70%（0.70）。
事实证明，几何平均值的概念在包装不同尺寸的纸张时非常有用。例如，C2的尺寸是A2和B2之间的几何平均值。类似地，整个C系列格式是相应A系列和B系列编号之间的几何平均值。
当我开始调研这个话题时，我身边一直有一把尺子和卷尺。我发现自己在测量任何矩形物体的长宽比，测量结果在美学上让我感到很满意。
我测量的对象包括：我的写字台、显示器、鼠标垫、平板电脑、薄荷糖盒、矩形板、实体书等。最令我满意的矩形形状的纵横比在1.31和1.64之间(√2 = 1.4142..).
来源：Ksenia Chernaya from Pexels
首先，我惊讶地发现，周围有那么多物体都是长方形的。在开始研究这个问题前，我对它们的形状没有那么关注；其次，我很惊讶我的审美品味和长宽比为√2是一致的。
我不确定这样的审美品味是否是特定文化背景中学到的，还是自然界中自发发生的。现在，我所能做的就是欣赏这样一个事实，即√2除了纯粹的数学之外，它和人性也有一定关联。
有时，最深刻的认识来自最简单的观察！我希望你会觉得这篇文章有趣且有用。
